RESUMEN
Introducción: En la enseñanza de la física, utilizar tanto métodos exactos como
numéricos complementándose como un todo, permite que el proceso de enseñanza-aprendizaje
sea más completo.
Objetivo: mostrar las ideas centrales para introducir
un método numérico, Bisección, en la resolución de problemas en la asignatura
de Física con la utilización del Excel, en la carrera Ingeniería Agrónoma.
Métodos: del nivel teórico, empírico y
matemático-estadístico, estos fueron seleccionados y desarrollados a partir de
las exigencias del enfoque dialéctico-materialista.
Resultados: se evaluó el desempeño de los estudiantes en
la solución de los problemas utilizando métodos numéricos y el Excel, y se demostró la validez de la propuesta didáctica
empleada.
Conclusiones: con la aplicación de los métodos numéricos y
el Excel se logró un avance cuantitativo en el nivel de aprendizaje de los
contenidos de la Física, pues la mayor cantidad de estudiantes logran solucionar
los problemas con la utilización de estos métodos.
Palabras clave: física; matemática numérica; resolución
de problemas
ABSTRACT
Introduction: In the
teaching of physics, using both exact and numerical methods, complementing each
other as a whole, makes the teaching-learning process more complete.
Objective: to show
the main ideas to introduce a numerical method: Bisection, in the resolution of
problems in the subject of Physics with the use of Excel, in the agricultural
engineering major.
Methods: of the
theoretical, empirical and mathematical-statistical levels were applied; these
were selected and developed from the demands of the dialectical-materialist
approach.
Result: the
students´ performance as to solving problems was evaluated using numerical
methods and Excel, demonstrating the validity of the didactic proposal used.
A
quantitative advance in the level of learning of the contents of Physics was
achieved with the application of numerical methods and Excel, since most of the
students manage to solve problems with the use of the aforementioned tools.
Keywords: numerical
mathematics; physics; solution of
problems
Introducción
El desarrollo
de las tecnologías de la información y las comunicaciones impone nuevos retos a
la enseñanza universitaria. En particular al proceso de enseñanza-aprendizaje. El
proceso de enseñanza de la Física General está llamado a enfrentar cambios que
repercuten en la didáctica que lo sustenta.
Mientras
que en los objetivos generales de la disciplina Física General para las
carreras de ingeniería se exige el uso de las tecnologías y la solución de
problemas actuales de la especialidad, en los que se apliquen los contenidos de
Física General, el desarrollo del proceso de enseñanza-aprendizaje se realiza
mayoritariamente de forma tradicional. Así, la mayoría de las tareas de
aprendizaje de Física General que se presentan a los estudiantes, requieren
solamente el uso de métodos exactos o problemas de números
bonitos, los cuales raras veces
aparecen en la realidad.
Muchos
problemas de ingeniería, en los que se aplica la Física General, surgen a
partir de situaciones concretas cuyo punto de partida es un conjunto de datos
tomados de la realidad o son modelados por funciones, a las cuales, en primera
instancia, no es posible aplicar los métodos exactos de la matemática para su
procesamiento y solución. Ello lleva a la necesidad de aplicar métodos
numéricos, los que, a su vez, dado el gran volumen de cálculos que les son
inherentes, requieren el uso de la computadora.
Al
aplicar los métodos numéricos y el Excel en la resolución de problemas de
Física tengan o no solución por vía exacta, el estudiante tiene otra vía para
resolver los problemas, además a través del uso de los métodos numéricos llegan
a comprender que los adelantos tecnológicos como enviar cohetes al espacio,
lanzamiento de proyectiles, drones, robots, construcción de circuitos
integrados, teléfonos celulares, GPS y muchos otros relacionados con la Física,
no pudieran existir sin métodos numéricos y se logra que el estudiante se
vincule con el carácter aproximado de la realidad y la perspectiva del error.
Por
tales razones, se hace cada vez más necesario, la aplicación de métodos
numéricos y el uso de la informática como herramientas para la enseñanza de la
Física General en las carreras de ingeniería.
Especialistas
de diferentes países como: Benacka (2008), Guerra Véliz (2008), Gaik Tay et al. (2013), Mora Flores (2016), Mañas y Pinta
(2018), Lima et
al. (2020), Chapra y Clough (2021), entre otros, se han percatado de la necesidad
de incluir los métodos numéricos en los cursos de Física en diversos niveles
educacionales y constituye una tendencia en el ámbito internacional; lo que
permite un análisis más profundo del tema que se ha desarrollado en dos
direcciones. La primera dirigida a la formación de científicos e ingenieros, y
la segunda a los niveles de enseñanza en que se estudia la Física con menos
profundidad.
En el
primer caso se propone usar métodos numéricos para resolver problemas complejos
que no tienen solución por otra vía. La segunda dirección, aunque concibe el
trabajo con métodos numéricos más simples, tiene aún un desarrollo incipiente,
por lo que se limita a ofrecer ejemplos aislados de problemas físicos.
Un
trabajo con un enfoque más general, es el realizado en Cuba por Guerra Véliz (2008).
Este presenta un modelo didáctico que se refiere no a ejemplos particulares
sino a una concepción integral del proceso de enseñanza- aprendizaje de la
Física General y realiza importantes aportaciones en cuanto a la estructura del
enunciado de las tareas de aprendizaje y la estructura del método de solución
de dichas tareas, sin embargo, tiene dos limitantes fundamentales cuando se
trata de aplicar a las carreras de ingeniería. La primera radica en que ha sido
concebido para la carrera de formación de profesores de Física para la
enseñanza media y la segunda que se centra más en los métodos numéricos que en
el uso de Excel, aspectos que no hacen posible su aplicación inmediata como
modelo didáctico en las carreras de ingeniería.
El
objetivo de este artículo es mostrar las ideas centrales para introducir un
método numérico, Bisección, en la resolución de problemas en la asignatura de
Física, en la carrera de Ingeniería Agrónoma y mostrar un ejemplo de problema
resuelto.
Marco teórico o referentes conceptuales
Los
entes materiales y fenómenos naturales son objetivos. En el proceso de
investigación científica el hombre interactúa con ellos convirtiéndolos en
objeto de su actividad cognoscitiva como resultado de la cual asimila teóricamente
el objeto y lo transforma.
Las
construcciones de la ciencia Física constituyen el reflejo de la realidad estudiada.
Tal reflejo es profundo, organizado, coherente y constituye el resultado de la
actividad práctica de muchos científicos.
El
conocimiento de los objetos, procesos o fenómenos físicos se obtiene a partir
de modelos de la parte de la realidad estudiada. La cuantificación de dichos
modelos se logra con la definición de magnitudes y dependencias entre ellas que
se concretan en modelos matemáticos. En estos, cada elemento (variable,
constante, signo...) y cada parte (ecuación, función, sistema de ecuaciones o
funciones...) tiene un sentido físico estricto. Al tránsito de un modelo
matemático a otro o a la determinación del valor de las magnitudes presentes en
el modelo dado se llega a partir de operaciones matemáticas que de igual modo
tienen sentido físico estricto. También, puede irse desde las magnitudes
cuantificadas hasta el establecimiento del modelo. En todo este proceso la
física habla a través de la matemática. Se dice que la matemática es el
lenguaje de la física, no una matemática que comporta solo las estrictas formas
y relaciones cuantitativas de los objetos abordados sino portadora, además, de
un estricto sentido físico.
La
matemática exacta se ocupa de demostrar la existencia de la solución de un
problema y señalar el proceso que obtiene una solución; sin embargo, para
muchos problemas la segunda cuestión queda sin resolver, aun cuando se
garantiza, desde el punto de vista teórico, que tal solución existe. Asimismo,
puede ocurrir que se brinde el algoritmo del proceso al que obtiene la solución,
pero que este sea demasiado largo y, en consecuencia, inutilizable desde el
punto de vista práctico.
En auxilio de tales dificultades aparece
la matemática numérica que tiene como objetivo la búsqueda de algoritmos
aproximados de cálculo para todos aquellos casos en que la existencia de la
solución esté garantizada desde el punto de vista teórico, se conozca o no un
algoritmo exacto para resolverlo. Para ello sustituye el problema inicial por
otro más simple de aquí que la solución encontrada por esta vía resulte
aproximada respecto al problema original. La solución por vía numérica se
reduce a la realización de operaciones aritméticas y lógicas sobre los números.
Los métodos exactos posibilitan arribar
a importantes generalizaciones teóricas, pero los numéricos permiten pasar de
los datos obtenidos en las mediciones al modelo matemático que expresa sus
relaciones y comprobar en la práctica el modelo teórico propuesto.
Chapra
y Clough (2021), resumen varias
razones de carácter didáctico y epistemológico, que evidencian la necesidad de
usar los métodos numéricos en las carreras de ingeniería: una de ellas es la
potencialidad de estos métodos en la resolución de problemas. Al respecto
destaca que “son capaces de manipular sistemas de ecuaciones grandes, manejar
no linealidades y resolver geometrías complicadas” (p.5).
Durante la construcción del aparato
teórico de las ciencias exactas los métodos numéricos y exactos son igualmente
importantes, se excluyen y complementan conformando una unidad dialéctica.
No obstante, actualmente en la enseñanza
de las ciencias, predominan los métodos exactos. Como resultado, los
estudiantes asumen los conocimientos científicos como una descripción exacta de
la realidad y obvian el carácter relativo de dichos conocimientos, que tan
importante es para estimular la inconformidad que lleva a la búsqueda de nuevos
conocimientos y a la profundización de los existentes. Esta dificultad puede
resolverse incluyendo en la enseñanza de las ciencias, los métodos numéricos
conjuntamente con los exactos.
Los métodos numéricos no se usaban con
tanta frecuencia, a pesar de la exactitud de sus soluciones y las múltiples
ventajas que poseen, debido a los muchos cálculos que requieren cada uno de
ellos. Pero al comenzar el vertiginoso avance de las tecnologías y el uso de
las computadoras, el empleo de los métodos numéricos se hizo mucho más viable.
Al respecto, Chapra y Clough (2021),
señalan:
En
la actualidad, las computadoras y los métodos numéricos ofrecen una alternativa
para los cálculos complicados. Al usar la potencia de la computadora se
obtienen soluciones directamente, de esta manera se pueden aproximar los
cálculos sin tener que recurrir a consideraciones de simplificación o a
técnicas muy lentas. Aunque las soluciones analíticas aún son muy valiosas,
tanto para resolver problemas como para brindar una mayor comprensión, los
métodos numéricos representan opciones que aumentan, en forma considerable, la
capacidad para enfrentar y resolver los problemas; como resultado, se dispone
de más tiempo para aprovechar las habilidades creativas personales. En
consecuencia, es posible dar más importancia a la formulación de un problema y
a la interpretación de la solución. (p.4)
Sobre el tema Rega
Armas (2017) explica:
Para
implementar los métodos numéricos y aprovechar los múltiples benéficos que
ellos nos brindan, es necesaria la utilización de las computadoras. Existen
múltiples programas que pueden ser usados para trabajar los métodos numéricos,
uno de ellos es el Excel de Microsoft que posee varias ventajas con respecto a
otros programas. (p.3)
Microsoft Office es una de las
aplicaciones más usadas en la actualidad y Cuba no está excluida de esto. Excel
es parte del paquete de este sistema.
Al respecto, Oliveira
y Nápoles, (2013) señalan:
Aunque
Excel es probablemente la hoja de cálculo más utilizada en el mundo debemos
resaltar que dentro del llamado software libre existe una aplicación: Open
Office.org que equivale al Excel de Microsoft Office ya que contiene
características similares y se pueden adaptar al Excel. (p. 2)
El
Excel como software ha sido empleado en la enseñanza y aprendizaje de disímiles materias dentro
de ellas matemáticas y físicas, en la revista: Spreadsheets in Education, se recogen muchas de las
experiencias al usar las hojas de cálculo en la enseñanza. Una de ellas es el
artículo del autor Christopher (2006), en este, él explica como las hojas de
cálculo son una excelente herramienta para que los estudiantes comiencen su
aprendizaje de métodos numéricos pues es un instrumento fácil para construir
ejemplos ilustrativos, experimentar con ellos y graficar los mismos.
Según Oliva (2017) las ventajas al
operar con hojas de cálculo de Excel son variadas. Una de ellas, es que
facilita entender mejor las operaciones y fórmulas matemáticas, pues en las
celdas nos muestra todo el proceso antes de llegar a un resultado determinado.
Otra ventaja es que llevan incorporado fórmulas que nos ahorran la elaboración
de cálculos largos y complejos para llegar a una respuesta, esto a su vez lleva
a un aumento de la productividad, minimizando la necesidad de personal
altamente calificado; plantillas y formatos predeterminados que facilitan la
presentación u organización de datos.
La Física es una de las ciencias que
estudia la naturaleza. Esta ciencia compone la realidad a partir de modelos y
necesariamente tiene una estrecha relación con la matemática. Existen problemas
de física que no pueden ser resueltos por métodos exactos, que sus soluciones
no son seguras o que además las soluciones de estos problemas son muy
engorrosas usando los métodos exactos.
Estos problemas se pueden encontrar en
muchos libros de física, además los métodos numéricos se pueden usar para
resolver situaciones problémicas en casi la totalidad de los libros de física
que se usan en la universidad y todos son resueltos por métodos exactos y en
ocasiones no se hace ni referencia a que los problemas pudieran ser resueltos,
con gran facilidad por métodos numéricos.
Metodología empleada
En el desarrollo de la investigación se
aplicaron diversos métodos, estos fueron seleccionados y desarrollados a partir
de las exigencias del enfoque dialéctico materialista. Entre los métodos
teóricos utilizados se destacan:
El analítico-sintético: posibilitó
determinar las partes componentes del proceso de aprendizaje y su integración
como un todo, para la implementación del método numérico de bisección, con la
utilización del Excel, en el Proceso de aprendizaje de la Física, en el segundo
año de la carrera Ingeniería Agrónoma.
Inductivo-deductivo: permitió procesar
la información, establecer las generalizaciones y valorar el estado inicial en
que se expresa el aprendizaje de la física, determinar los factores vinculados
a este y las relaciones e interrelaciones existentes entre dichos factores.
Entre los métodos empíricos utilizados se
encuentran:
La observación: se empleó
sistemáticamente, lo que permitió apreciar la evolución de los estudiantes antes
y después de la utilización de los métodos numéricos y el Excel en la solución
de problemas de física.
El análisis de documentos: posibilitó analizar
los escritos normativos: Modelo del Profesional, programas, libros de texto,
expediente de asignatura, sistemas de clase y libretas de los estudiantes para
constatar las carencias y potencialidades con vistas a contribuir al
mejoramiento del aprendizaje de física en la carrera Ingeniería Agrónoma.
La entrevista: permitió conocer cómo
transcurre el aprendizaje de la física.
De los métodos estadísticos-matemáticos
se utilizó la estadística descriptiva para corroborar la efectividad de la
utilización de los métodos numéricos utilizando el Excel para la solución de
problemas físicos, al comparar los resultados antes y después de su aplicación.
Resultados y discusión
Se considera como muestra a los 18 estudiantes
de la carrera Ingeniería Agrónoma de la Universidad de Sancti Spíritus “José
Martí Pérez”.
Antes de introducir en la resolución de
problemas físicos la utilización del Excel y los métodos numéricos se realizó
una entrevista y una prueba pedagógica con el objetivo de comprobar el nivel de
conocimientos.
La
entrevista grupal aplicada a los18 estudiantes que cursaban el segundo año de
la carrera Ingeniería Agrónoma propició obtener información de los estudiantes
que integran la muestra acerca del aprendizaje de los contenidos de la Física.
A continuación, se presenta una síntesis de las respuestas que estos ofrecieron:
·
todos los entrevistados
plantean que para la solución de las tareas consultan las notas de clases, en
ocasiones el libro de texto, pero casi nunca se les orienta tareas que
requieran del uso de las Tic y la hoja de cálculo Excel.
·
en ocasiones hacen búsqueda
de otras bibliografías como revistas, periódicos, entre otros.
·
no siempre para la solución
de las tareas se necesita relacionar los contenidos de la Física, la Matemática
y la Informática.
Se aplicó una prueba pedagógica para conocer
el estado en que se encontraba el aprendizaje de la Física, la prueba constaba
de tres problemas todos del tema de mecánica, dos de las preguntas podrían ser
resueltas por métodos exactos o numéricos y la tercera necesariamente
necesitaba de los métodos numéricos. Se obtuvieron los siguientes resultados:
Ocho estudiantes (44.4%) lograron enunciar y
formular correctamente las ecuaciones y leyes de los temas preguntados, en las
dos primeras preguntas.
Diez de los estudiantes (55.5%) seleccionaron
correctamente las vías de solución a las problemáticas planteadas, en las dos
primeras preguntas.
Todos los estudiantes (100%) expusieron que
la tercera pregunta era imposible de resolver o que no tenía solución.
En
síntesis, las principales limitaciones en el aprendizaje de la Física se
expresan en:
- los estudiantes tienden a memorizar
y no a aplicar los conocimientos.
- tienden a solucionar las tareas
reproductivas que requieran de poco esfuerzo intelectual.
·
no se implican de forma
reflexiva en la búsqueda del conocimiento.
·
no conocen ningún método
numérico.
·
No saben aplicar ningún
método numérico, a la solución de problemas, pues a pesar de que en la
asignatura de cálculo dada en primer año consta de un tema opcional sobre los
métodos numéricos, no fue recibido por los estudiantes.
Cuando se habla de un antes de aplicar
los métodos numéricos para la solución de problemas en física, en este caso el
método de bisección, se tiene en cuenta que, a pesar de la importancia y
beneficio de estos, los estudiantes no conocen los métodos numéricos, por lo
que no saben que existe otra herramienta muy poderosa que puede resolver
cualquier problema, no solo de física y que estos métodos están detrás de la
mayoría de los adelantos del mundo moderno.
La propuesta
didáctica del problema y la solución numérica con la utilización del Excel
En la elaboración de las tareas docentes para la
aplicación de los métodos numéricos. Se asumen las características propuestas
por Guerra Véliz (2008, p.86).
Tales tareas se distinguirán porque en sus condiciones,
el elemento distintivo es una función interobjeto y
su exigencia, la realización de una operación matemática, que tiene sentido
físico, sobre la función interobjeto. La vía para la
realización de dicha operación será la numérica, cuya particularidad distintiva
es su carácter aproximado.
De acuerdo con el sistema de métodos que se proponen,
las tareas deben constituir un problema, en el sentido psicológico que esta
palabra encierra. Ello significa que para el estudiante no será posible
realizar la operación matemática que le da solución, aun cuando pueda dar una
explicación cualitativa del fenómeno o proceso físico de que se trate. Sin
embargo, el alcance de la solución debe exigir del estudiante aplicar los
conocimientos previos u otros que el profesor le oriente, cuya comprensión está
dentro de su zona de desarrollo próximo. Así constituirán problemas asequibles.
Es necesario destacar que el objetivo
de la investigación, no es enseñar métodos numéricos en la clase de
física, pues la clase de física perdería su esencia convirtiéndose en una clase
de matemática, la física para su estudio necesita necesariamente de la
matemática pero de ambos métodos exactos
y métodos numéricos, no solo para
resolver problemas que solo pueden ser
resueltos usando los métodos numéricos, sino también para
ejemplificar algunos de los fenómenos de la naturaleza que la física describe.
La mecánica es uno de los temas de la asignatura
Física y es la encargada de describir el movimiento de los cuerpos en
movimiento y en reposo. En la mecánica el estudiante encuentra la explicación
utilizando los modelos de la física y la matemática a una gran cantidad de
problemas que aparecen en su vida diaria, tanto en la ciencia y la tecnología
como formando parte del entorno que rodea al estudiante.
Los profesores de física y matemática deben tratar de
vincular de la forma más estrecha posible los contenidos de su asignatura con
el entorno que rodea al estudiante, con las cosas que él cada día ve quizás sin
prestarle atención y que representan problemas de aplicación de las ingenierías
a partir de los principios de las Ciencias Físicas y Matemáticas; uno de estos
problemas es el relacionado con los cables suspendidos que encontramos tanto en
una simple tendedera como en los cables conductores de la corriente eléctrica
que nos rodean por todas partes, es precisamente este problema de un cable
suspendido el que conduce a la ecuación trascendente que presentamos de ejemplo
en este artículo.
Problema:
Suponga
que usted tiene un cable homogéneo y delgado, que
cuelga de sus extremos y adquiere la forma que se muestra en la figura, se
demuestra que la ecuación de la curva llamada catenaria viene dada por:
,donde
son
parámetros. Se permite medir en dos puntos las coordenadas de la catenaria que
describe la forma adoptada por dicho cable. A partir de las dos mediciones
realizadas obtenga el valor del parámetro 
.
Fig. 1
Catenaria
Solución:
Como
condiciones se ofrece la forma general de la catenaria: y se
ofrece la posibilidad de medir las coordenadas en dos puntos, lo que permite
obtener dos pares ordenados 
y 
La
incógnita del problema consiste en obtener la ecuación de la catenaria para el
supuesto cable, lo que implica determinar los parámetros y 
para
sustituirlos en la ecuación general de la catenaria.
El
parámetro va a depender
del peso por unidad de longitud del cable y de la tensión 
que es
sometido y
de la
posición del sistema de referencia, el cual se encuentra colocado de manera que
el origen de las coordenadas se ubique justamente debajo del punto de altura
mínima. Como la ecuación solo contiene dos parámetros, midiendo la altura de un
cable en dos puntos, se puede determinar ambos parámetros.
Esta
situación puede ser reproducida en el laboratorio de física a nivel
experimental de forma muy sencilla tomando dos bases, dos varillas que se empotrarían
en esa base y dos presillas en los extremos superiores y atando un hilo por
cada uno de sus extremos a las presillas de forma tal que nos represente la
situación real. El hilo con las características necesarias; ser homogéneo y
tener una densidad tal que produzca la curvatura que queremos que los
estudiantes vean y que se ha representado gráficamente en el trabajo, de esta
forma se puede medir con facilidad cada uno de los parámetros.
Por
ejemplo, si la altura mínima es 
y si 
más
allá la altura del cable es de 
, entonces:
Para 
es 
y,
por tanto 
Para 
es 
y, será 
Con lo cual se obtiene un sistema de dos
ecuaciones con dos incógnitas con solución única.
Basta restar ambas ecuaciones para
eliminar la incógnita 
y obtener:
Ecuación cuya raíz da el valor de ,
del cual resulta fácil determinar posteriormente el valor de .
Sin embargo, se está en presencia de una ecuación trascendente que no tiene
solución por métodos exactos solamente puede ser resuelta usando métodos
numéricos.
En el gráfico de la función 
,
figura 2, se muestra que está garantizada la continuidad de la función
para
el intervalo
pues es estrictamente decreciente. La
existencia de su solución en un tramo se puede garantizar a partir del teorema
de Bolzano que plantea, que si una función 
continua
en un intervalo 
tal que 
entonces existe 
tal que 
.
Este teorema no garantiza la unicidad de la raíz, solo garantiza que al menos
hay una.
En el
gráfico de la función, se observa que para 
toma
un valor, la función corta el eje, entre 20 y 30, corta el eje.
Aquí lo
más importante no es el intervalo sino el hecho de que en ese intervalo la
solución es única.
Fig.
2 Gráfico de la función y=x cosh〖10/x〗-x-2
Para la
realización de este problema el docente debe orientar a sus estudiantes
previamente el estudio de bibliografía referente a los métodos numéricos y muy
especialmente aquella que explica con detalle el método numérico que se
empleara para dar solución al problema. Es importante resaltar, que el profesor
debe motivar a sus estudiantes dándole razones del
porqué es importante que ellos
conozcan los métodos numéricos y sepan trabajar con alguno de ellos.
La
bibliografía recomendada fue la siguiente:
·
Revisar el libro Mecánica
Teórica, del autor, U. M. Starzhinski (1980), en la
página 495, aparece un problema relacionado con la curva de la catenaria donde
se explica la solución del problema
·
Buscar en el sitio web http://numericalmethods.eng.usf.edu, donde se encuentran ejemplos del método que
se empleará en la solución del problema que se muestra, este sitio se encuentra
en idioma inglés, lo que le permitirá a los estudiantes el desarrollo de habilidades en este idioma.
·
Revisar en la ayuda del
Excel la función lógica SI, debido a que con ella el uso del método de
bisección, que es el método numérico que se empleará para dar solución del
problema, es más factible, porque automatiza el método ahorrando tiempo.
·
Estudiar con detenimiento un
video tutorial realizado por la profesora, donde se explica el método numérico
que se va a emplear, en este caso el método numérico bisección, y además el
video contiene un ejemplo de un problema resuelto utilizando el método de
bisección y el Excel.
Para la
impartición de la asignatura se propuso un video tutorial realizado por la
profesora, donde primeramente hace una breve introducción sobre la importancia
de los métodos numéricos con el objetivo de motivar a los estudiantes, en un
segundo momento explica detalladamente el método de bisección y da cuatro pasos
a realizar para poder resolver un ejercicio por el método numérico de bisección
y en un tercer momento explica con un problema ejemplo de física, como
resolverlo en Excel, paso por paso para que el estudiante comprenda como debe
proceder al resolver una situación problémica utilizando el método numérico de bisección y
el Excel.
Como ya
se abordó anteriormente este problema, necesita una solución por métodos
numéricos, existen varios métodos numéricos, para la resolución de este
problema, el método de bisección para la determinación de raíces fue el método
numérico seleccionado.
Al
resolver este problema utilizando Matemática Numérica se realizan muchos
cálculos, que con lápiz y papel sería muy engorroso y el estudiante se
centrarían más en hacer los cálculos que en lo que realmente importa, el
aprendizaje de la física.
Es por
esta razón que se utiliza el Excel de Microsoft por todas las posibilidades que
brinda y que han sido explicadas anteriormente en este artículo.
Para
utilizar el método de bisección es preciso determinar el intervalo 
, esto fue muy sencillo con la utilización
del Excel de Microsoft, se definió la función f(x)
se igualó a cero y se obtuvo 0
esta
es la ecuación que contiene la solución y la función f(x) es la
función con que se trabaja se le va a llamar función interobjeto,
más adelante se seguirá trabajando con ella; posteriormente se evaluó la misma
para los valores de x desde cero con un incremento de 
hasta
que se encontró en el valor de la función un cambio de signo y se obtuvo el
intervalo
necesario
para aplicar el método numérico de bisección.
Fig.
3 Hoja del Excel con el intervalo
. Fotografía tomada de la hoja de Excel para la solución del problema
propuesto
El
intervalo encontrado fue (
con él
y tomando como error 
este error es justificado debido a que se
parte de coordenadas que se miden directamente, digamos con una cinta métrica
que a lo sumo aprecia hasta los milímetros, en ese caso el valor de se
puede expresar con tres cifras significativas, las dos primeras son exactas, la
tercera es dudosa.
Tomamos
y 
Evaluamos la ecuación para 
y o 
y se
logró obtener los siguientes casos:
Si al
sustituir o en la
función interobjeto se obtiene f(x)
entonces
el valor de para
el cual se
obtiene
f(x) es la
solución buscada.
Si al
sustituir los valores de o en la
función interobjeto no se obtiene f(x) para
ninguno de los dos valores de sustituidos entonces se obtienen dos valores
de f(x)
y
además de signo contrario
Siendo:
; 
y 
Si se
obtiene 
o 
entonces se toma como la solución, la semisuma
de los valores evaluados en el paso anterior. Aquí puede darse el caso en que 
haga 
, pero esto no significa que la solución sea
exacta como sí ocurre en Matemática donde las magnitudes representan cantidades
exactas, esto se debe a que se está trabajando con cifras significativas.
Si se
obtiene
o 
, entonces se repite el proceso. Tomando, de
los dos intervalos en que quedó dividido, aquel en que la función cambia de
signo. Para la realización de este paso
en el Excel se utiliza la función SI ya que ella a partir de una condición,
devuelve un valor falso y uno verdadero en la casilla especificada; en este
caso si 
o 
, se sustituye el valor de por la
casilla que posee o en
dependencia del cambio de signo. Esta función facilita la utilización del
método, automatizando el proceso búsqueda de la raíz.
Se hace
necesario Recordar que el Excel brinda dentro de sus ventajas escribir las
ecuaciones y obtener las respuestas en las casillas especificadas, debido a que
cada una tiene un identificador. La hoja de Excel en la que se usó el método de
bisección y se encontró la respuesta queda como se muestra en la figura:
Fig.
4 Hoja del Excel con el
problema resuelto utilizando el método numérico de bisección. Fotografía tomada
de la hoja de Excel para la solución del problema propuesto
Con 
iteracciones se obtiene la respuesta del
problema con un error de 
se debe
tener en cuenta el carácter aproximado del método numérico que se aplica y cómo
ello lleva a realizar aproximaciones o simplificaciones del ente físico descrito
por el interobjeto. Tales aproximaciones de carácter
cualitativo se llevan a cabo en la etapa de singularización al evidenciar en el
fenómeno o sistema concreto cómo tienen lugar las aproximaciones realizadas
a la clase particular al aplicarle el método numérico seleccionado a la función
interobjeto que la describe.
La
exactitud de la solución depende de la exactitud con que sea factible medir la
magnitud física que representa dicha solución de acuerdo con el fenómeno en que
ella se manifieste y los instrumentos de medición que puedan usarse para medir
la magnitud en el fenómeno dado. Es importante, que, desde el punto de vista
físico, el estudiante entienda que los resultados en la Física son una
aproximación de la realidad y no un 
de
exactitud.
Al
concluir la introducción de los problemas de física se realizó una prueba
pedagógica para comparar los resultados antes y después de la aplicación de los
métodos numéricos, a continuación, mostramos los resultados: la prueba constaba de tres problemas
todos del tema de mecánica, dos de las preguntas podrían ser resueltas por
métodos exactos o numéricos y la tercera necesariamente necesitaba de los
métodos numéricos. Se obtuvieron los siguientes resultados:
Ocho estudiantes (44.4%) lograron enunciar y
formular correctamente las ecuaciones y leyes de los temas preguntados, en las
dos primeras preguntas.
Diez de los estudiantes (55.5%) seleccionaron
correctamente las vías de solución a las problemáticas planteadas, en las dos
primeras preguntas.
Todos los
estudiantes (100%) expusieron que la tercera pregunta era imposible de
resolver o que no tenía solución.
Quince
estudiantes (83.3%) lograron
enunciar y formular correctamente las ecuaciones y leyes de los temas
preguntados, en las dos primeras preguntas
Catorce
de los estudiantes (77.7%) seleccionaron correctamente las vías
de solución a las problemáticas planteadas, en las dos primeras preguntas.
Quince de los estudiantes (83.3%)
lograron resolver correctamente con el empleo del método de bisección y el
Excel del problema en cuestión.
Es
necesario señalar que tres de los estudiantes resolvieron alguna de las dos
preguntas que podían ser resueltas por métodos exactos, la solucionaron usando
métodos numéricos, debido a que todos los problemas pueden ser resueltos por
métodos numéricos aun si tienen solución por métodos exactos.
En el artículo se muestra solo un ejemplo de lo problemas que se aplicaron.
Para de esta manera enseñar, cómo se pueden incluir los métodos numéricos en el
aprendizaje de la física.
Del análisis de los resultados al aplicar los problemas con el empleo de la
matemática numérica y el uso del Excel, en el segundo año de la carrera
ingeniería Agrónoma, se infiere que hubo un avance cuantitativo en el nivel de
aprendizaje de los contenidos de la Física, pues la mayor cantidad de
estudiantes logran solucionar los problemas con la utilización de la matemática
numérica y el uso del Excel integrando de esta manera los contenidos físicos,
matemáticos e informáticos. Además de proporcionarles a estos estudiantes una
poderosa herramienta que pueden utilizar a lo largo de su carrera de
ingeniería, y en su futuro desempeño profesional.
Conclusiones
Los estudios realizados en la
sustentación teórica de este trabajo evidencian la importancia de la inclusión
de los métodos numéricos en la enseñanza de la ciencia a partir del uso de la
tecnología, en la sociedad contemporánea.
La introducción de los métodos numéricos
en la enseñanza de la Física en la universidad constituye una necesidad para
lograr que los estudiantes comprendan el lugar de la matemática numérica en el
método científico y contribuir a la formación de su concepción científica del
mundo.
La introducción de los métodos que se
proponen permite abordar otras manifestaciones de los fenómenos físicos que no
es posible abordar usando solamente métodos exactos.
El
problema ejemplo se caracteriza por la utilización del Excel de Microsoft, el
empleo de los métodos numéricos, la objetividad, el desarrollo y la
interdisciplinariedad.
La evaluación obtenida después de la
aplicación de estos problemas en los estudiantes que cursan segundo año de la carrera
de Ingeniería Agrónoma, permite considerar que el empleo de los métodos
numéricos en la enseñanza de la Física es factible y pertinente.
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Conflicto de interés
No existe
conflicto de interés en esta investigación.
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Contribución
de los autores
DRA: Concepción de la idea, búsqueda y revisión de
literatura, confección de instrumentos, aplicación de instrumentos,
recopilación de la información resultado de los instrumentos aplicados,
análisis estadístico, confección de tablas, gráficos e imágenes, confección de
base de datos, asesoramiento general por la temática abordada y redacción del original (primera versión).
YGV: Revisión y versión final del artículo,
corrección del artículo, coordinador de la autoría, traducción de términos o
información obtenida y revisión de la aplicación de la norma bibliográfica aplicada.
JLH: metodología, revisión y redacción del borrador
original y aprobación final del manuscrito.
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