Recibido: 12/1/2023, Aceptado: 15/5/2023, Publicado: 04-07-2023
Artículo original
La formación de
conceptos a partir de la modelación matemática. El concepto
de función lineal
Concept formation from mathematical modeling. The
concept of linear function
Neisy Caridad Rodríguez Morales¹
E-mail:ncrodriguez@uniss.edu.cu
Andel Pérez González¹
E-mail:apgonzalez@uniss.edu.cu
Ortelio
Nilo Quero Méndez¹
E-mail:oquero@uniss.edu.cu
1Universidad de Sancti Spíritus “José
Martí Pérez”, Departamento de Física-Matemática. Sancti Spíritus, Cuba.
_______________________________________________________________
¿Cómo citar este artículo?
(APA, Séptima edición)
Rodríguez
Morales, N. C., Pérez González, A. y Quero Méndez, O. N. (2023). La formación de conceptos a partir de la
modelación matemática. El concepto de función lineal. Pedagogía y Sociedad, 26 (67), 126-147. https://revistas.uniss.edu.cu/index.php/pedagogia-y-sociedad/article/view/1704
_____________________________________________________________
RESUMEN
Introducción:
Este artículo trata la formación
del concepto función lineal a través de la modelación matemática haciendo uso
de situaciones de la vida diaria, durante el proceso
de enseñanza-aprendizaje de la Matemática.
Objetivo: Tiene
como objetivo proponer un procedimiento didáctico para la formación del
concepto función lineal utilizando la modelación matemática.
Métodos: En la realización del trabajo se combinaron métodos del
nivel teórico, del nivel empírico y del nivel estadístico-matemático, lo que
permitió constatar la existencia de insuficiencias en la formación del concepto
función lineal y los fundamentos en que se basa el procedimiento que se
propone.
Resultados: El análisis de las posibles causas del problema, condujo a la elaboración de
un procedimiento didáctico para la formación del concepto función lineal a
partir del uso de la modelación de situaciones problemas.
Conclusiones: El procedimiento puede ser utilizado por los profesores en el empeño de
mejorar los resultados de su labor durante el aprendizaje del concepto función
lineal por parte de los estudiantes.
Palabras clave:
conceptualización; formación de conceptos; función lineal; didáctica; modelación
matemática; proceso de enseñanza-aprendizaje.
ABSTRACT
Introduction:
This paper deals with the formation of the linear function
concept through mathematical modeling making use of daily life situations,
during the teaching-learning process of Mathematics.
Objective:
It aims at proposing a didactic procedure for the formation
of the linear function concept using mathematical modeling.
Methods:
To carry out the work, methods from the theoretical,
empirical and statistical-mathematical levels were combined, which made it
possible to verify the existence of insufficiencies in the formation of the
linear function concept and the foundations on which the proposed procedure is
based.
Results:
The analysis of the possible causes of the problem led to
the elaboration of a didactic procedure for the formation of the linear
function concept from the use of the modeling of problem situations.
Conclusions:
The procedure can be used by professors in the endeavor to
improve the results of their work during the students' learning of the linear
function concept.
Keywords: concept formation;
conceptualization; didactics; linear function; mathematical modeling;
teaching-learning process.
Introducción
Para la enseñanza
y el aprendizaje de la Matemática se considera la formación de conceptos como
un proceso complejo que se corresponde con la naturaleza de los propios
conceptos y su comprensión. Al respecto, Bueno Hernández et al. (2020),
destacan que su contribución está en lograr una base conceptual, subjetiva y
cognitiva sólida en los estudiantes y que su tratamiento debe orientarse hacia la
necesidad de entender la propia matemática y sus aplicaciones.
Precisamente,
uno de los conceptos de mayor trascendencia para la Matemática es el de función;
este tiene un significado especial en el desarrollo del pensamiento funcional
de los estudiantes desde los primeros grados, lo que justifica su presencia en
todos los niveles y grados (Ballester
Pedroso et al., 2018).
En el caso de Cuba, este concepto se forma con la participación de los
estudiantes en el octavo grado de la Secundaria Básica.
Dada su naturaleza abstracta, la enseñanza de este
concepto es objeto de análisis para los investigadores de la Didáctica de la
Matemática a nivel internacional, nacional y local, así lo aseveran López de la Teja et al. (2017), Domínguez Vaillant (2018),
Porras Torres (2018), Locia Espinoza et al. (2018), Castillo Rojas y Gamboa Graus (2020) y Angulo Vergara (2020).
Como resultado
de sus estudios el proceso de formación de conceptos exige una renovación de
enfoques, que en lo esencial, exige la aplicación de los conocimientos
adquiridos a la solución de situaciones de la vida real y así mostrar su utilidad
y el carácter instrumental de los conocimientos matemáticos.
Al respecto,
entre los objetivos generales para el curso escolar 2020-2021 del nivel
educativo Secundaria Básica, se plantea que los estudiantes deben “Demostrar
una concepción científica del mundo con la sistematización y ampliación de los
contenidos del proceso educativo en la solución de problemas sobre los hechos,
fenómenos y procesos que ocurren en la naturaleza” (Ministerio
de Educación [Mined], 2020).
El
logro de lo anterior, entre otros aspectos, requiere que se incluyan en el
proceso de enseñanza-aprendizaje de los contenidos de la matemática escolar
problemas relevantes, que contribuyan a la educación ideo política, jurídica,
laboral y económica; para la salud, la sexualidad y para la formación estética y ambiental de los alumnos,
preferentemente vinculados a su entorno natural y social.
Por lo antes expuesto, el
objetivo del artículo es: proponer un procedimiento
didáctico para la formación del concepto función lineal, a partir de la utilización
de la modelación matemática de
situaciones problemas de la vida diaria.
Marco teórico o referentes conceptuales
El
concepto es una forma del pensamiento abstracto, y este a su vez, es forma del
reflejo mediato y generalizado de la realidad. A través de los órganos de los sentidos
se conocen los objetos concretos y sus propiedades; éstas se reflejan mediante
las formas del conocimiento sensitivo: sensaciones, percepciones y nociones. (Talízina, 1988, p.150)
Vigotsky (1981, p. 70-71) señala que:
[...]
un concepto surge y se forma en el curso de una operación compleja dirigida
hacia la solución de algún “problema” y que el “memorizar” las palabras y
conectarlas con objetos, no conduce en sí mismo a la formación del concepto;
para que el proceso se ponga en marcha debe surgir un problema que no pueda
solucionarse más que a través de la formación de nuevos conceptos.
Entre las acciones que deben
formarse en el proceso de formación de
los conceptos (Talízina, 1988), resaltan tres que se
destacan: elección del sistema de características necesarias y suficientes para
reconocer al objeto, la inclusión en el concepto y la deducción de las
consecuencias. Esta psicóloga reconoce que en la formación de los conceptos la
habilidad rectora es la de inclusión.
Desde esta perspectiva, el punto de
partida para la formación de nuevos conceptos en el desarrollo psíquico de las
personas, es la necesidad de resolver un problema y de comunicarse con otros en
el transcurso del proceso de su resolución o después de finalizado el mismo.
En
este artículo se parte de considerar los conceptos como:
Una categoría especial en la enseñanza de la Matemática;
ya que estos constituyen la forma fundamental con que opera el pensamiento
matemático y, se tiene en cuenta que los estudiantes deben reconocer que los
conceptos tienen su origen en las necesidades de la vida práctica. (Riascos González y Curbeira Hernández, 2018, p. 362)
Ballester
Pedroso et al. (1992, p. 291), considera
tres fases para el proceso total de elaboración de conceptos:
·
La
primera fase está caracterizada por consideraciones y ejercicios preparatorios.
·
La
segunda fase consiste en la formación del concepto.
·
La
tercera fase consiste en la asimilación del concepto.
El
punto esencial de la formación de conceptos desde el punto de vista metodológico, está en reconocer y buscar un
sistema de características necesarias y suficientes, del reconocimiento de las características
depende la asimilación correcta del concepto.
Ballester
Pedroso et al. (1992), considera dos vías principales por los cuales se puede
conducir a los alumnos a nuevos conceptos:
·
Vía
inductiva: Conduce de lo particular a lo general.
·
Vía
deductiva: conduce de lo general a lo particular (p. 292).
En
el presente trabajo estamos proponiendo una vía inductiva.
Siendo consecuente con lo
anterior, en Cuba, la preparación para la formación del
concepto función transita por tres etapas y comienza desde el preescolar. Desde
este momento y según avanzan los primeros
grados, los estudiantes se
familiarizan con rudimentos de la teoría de conjuntos, agrupan objetos que
tienen una característica en común, establecen relaciones de pertenencia
sencillas entre elementos de un conjunto y aprenden a reconocer leyes para la
formación de conjuntos. Más tarde aprenden las operaciones básicas de cálculo,
trabajan con ecuaciones y profundizan en el trabajo con las correspondencias
hasta el primer año del nivel educativo de la Secundaria Básica. (Ballester Pedroso et al., 2018)
A juicio de los autores de este
artículo, la primera fase del proceso de elaboración del concepto función
comienza mucho antes de su tratamiento en el octavo grado y en esta se ofrecen
las consideraciones y ejercicios preparatorios necesarios para la comprensión
del referido concepto.
De ahí que no es hasta el octavo grado donde se inicia
la segunda fase; es decir, la relacionada con la formación del concepto función
y de función lineal en particular. Al respecto, se exige que los estudiantes
identifiquen y representen de forma descriptiva, mediante una tabla, un gráfico
o una ecuación, relaciones donde a diferencias iguales de una variable
corresponden diferencias iguales de otra, para que luego sean capaces de
modelar situaciones mediante funciones lineales. (Álvarez Pérez et al., 2014)
Inicialmente se profundiza, desde la investigación en Didáctica de
la Matemática, en la etapa que corresponde a la formación del concepto que
implica que los estudiantes se motiven y orienten sus objetivos de aprendizaje
hacia la identificación y separación de las características comunes y no
comunes en determinadas situaciones hasta llegar a la definición del concepto
de función. Para ello es necesario considerar tres aspectos esenciales “uno es el
de correspondencia, otro es el de covariación
(variación conjunta de los argumentos y los valores de la función) y el
tercero, es su carácter de objeto matemático con el cual se opera y se establecen
relaciones” (Álvarez Pérez et al., 2014, p. 71).
Sobre este particular, se
recomienda por los autores citados que la formación del concepto de función
debe partir del análisis de problemas que involucren situaciones de
correspondencia y variación de carácter intra y extramatemático; las que posibiliten discriminar lo común
que tienen y aprovechar su representación gráfica para la interpretación del fenómenos
correspondientes y poder arribar a conclusiones sobre el comportamiento de las
magnitudes que en ella se relacionan.
De la misma forma se considera la idea
de Leal
Huise y Bong Anderson (2015) como se citó en Fuentes Acuña et
al. (2019), que la resolución de problemas se
convierte en un foco importante en la enseñanza y aprendizaje de la matemáticas
por ser “un proceso cognitivo, retador, asociado al desarrollo del pensamiento
lógico” (p. 77). Las componentes fundamentales de un problema matemático son
las condiciones y las exigencias, las cuales también están presentes en las
situaciones-problemas que se utilizan para la formación del concepto función.
A tono con esa idea, Huincahue
Arcos et al. (2018), consideran que: “la
modelación matemática es una actividad que permite a la persona resolver problemas
de la realidad utilizando la matemática y para ellos, se entenderá como un
proceso de traducción entre el mundo real y la matemática” (p. 97).
Para Bocco
(2010) “un modelo es una representación gráfica, esquemática o analítica de una
realidad, que sirve para organizar y comunicar de forma clara los elementos que
la conforman y sus relaciones” (p. 9).
Por
lo que realizar un modelo consiste en utilizar herramientas matemáticas que
relacionan las variables que describen la situación problema planteada.
En tanto, la actividad de modelación es parte
de la esencia del quehacer matemático, por lo que debe ser objeto de enseñanza
y aprendizaje por parte de los estudiantes y estimular en ellos la utilización
de formas de trabajo matemático para obtener nuevos conocimientos matemáticos
pues precisamente los modelos matemáticos han puesto de manifiesto la
aplicación tan amplia de sus conocimientos a problemáticas de otras ciencias,
de la tecnología, la sociedad y el ambiente. (Álvarez Pérez et al., 2014, p. 58)
Es por ello que los autores consideran importante
destacar los criterios de Sánchez Cardona y Rendón Mesa (2019) donde plantean que:
“la modelación matemática posibilita que los estudiantes relacionen conceptos
matemáticos con fenómenos reales, de tal forma que se realizan comprensiones y
producen diferentes significados de conceptos matemáticos” (p. 2).
Desde el punto de vista de Mederos Anoceto et al. (2014), como se citó en Domínguez Vaillant (2018), un
concepto se ha formado cuando, al menos, se cumplen las tres condiciones
siguientes:
1. Se ha
determinado una clase de rasgos comunes (en matemática, un conjunto de rasgos
esenciales) que caracterizan a los objetos del concepto.
2. Se agrupan
en otra clase los objetos que satisfacen los rasgos esenciales.
3. Se utiliza
un símbolo lingüístico para el par formado por las dos clases anteriores, o
sea, para designar al concepto. (p. 14)
De ahí que la propuesta que se presenta
como resultado de este artículo consiste en la utilización de la modelación
matemática para la formación del concepto función lineal, dejando de esta
manera la enseñanza de tipo tradicional, que presenta de forma fragmentada el
proceso de formación de los conceptos. En este caso se utilizará la representación
analítica de la función en la forma y = m x + n, donde m y n son símbolos para
parámetros, que en cada caso particular tomarán valores fijos, y los signos x,
y, representan, respectivamente, las variables independiente y dependiente,
definidas sobre un conjunto de números reales.
Metodología empleada
Para la concepción de esta
investigación la metodología utilizada tiene en
consideración el enfoque dialéctico-materialista como método general. Se utilizaron diferentes métodos teóricos y empíricos. La utilización de
métodos teóricos como el
histórico-lógico y el análisis-síntesis, permitieron analizar la
evolución histórica de la formación del concepto función lineal, así como la
situación actual tanto nacional como internacional al determinar las
principales dificultades que enfrenta el proceso de formación de un concepto;
además, para analizar las diferentes etapas por las que ha transitado y constatar el
estado del problema, determinando las dificultades y potencialidades que
presentan los estudiantes en el proceso de formación del concepto función
lineal. El análisis de la información obtenida
posibilitó fundamentar desde posiciones teóricas y metodológicas el
procedimiento que se socializa en este escrito.
Resultados y discusión
Procedimiento didáctico para la formación del concepto
función lineal
También se tiene en cuenta que los
procedimientos didácticos constituyen:
Herramientas
que le permiten al docente orientar y dirigir la actividad del alumno, de modo
tal que la influencia de los "otros", propicie el desarrollo
individual, estimulando el pensamiento lógico, el pensamiento teórico y la
independencia cognitiva, motivándolo a "pensar" en un "clima
favorable de aprendizaje. (Zilberstein Toruncha y Silvestre Oramas,
2004, p. 99)
A continuación se describe el
procedimiento didáctico elaborado para la formación del concepto función lineal utilizando la vía inductiva.
1. Presentación de las situaciones-problemas que pueden ser modeladas
utilizando el concepto de función lineal.
2. Análisis de
la vía de solución de las situaciones-problemas
presentadas para ser modeladas utilizando el concepto de función lineal.
3. Identificación
de las características comunes o propiedades de los objetos que intervienen en
las situaciones-problemas analizadas.
4. Planteamiento
de la definición del concepto función lineal.
Seguidamente se explica cada una de los
acciones del procedimiento didáctico.
Acción 1.
Primeramente
es necesario precisar, según los autores del artículo, que entre los distintos
conceptos de problema que se han manejado en el campo de la Didáctica de la
Matemática, el que más se ajusta a los fines de la formación de conceptos es el
de situación-problema caracterizada por Douady & Parzysz
(2000, p. 163):
Lo anterior, justifica que el proceso de formación se inicie con la presentación de las situaciones-problemas que pueden ser modeladas
utilizando el concepto de función lineal. En consecuencia, se debe lograr la familiarización
de los estudiantes con cada situación problema y su posible vía de solución; estas deben expresar la
necesidad de nuevos conocimientos que serán adquiridos o construidos por los
propios estudiantes. De igual forma, las situaciones problemas se deben formular
desde varios contextos diferentes para de esta forma potenciar una mejor
comprensión de las mismas.
En este primer momento, el profesor
asigna o propone a los estudiantes el análisis de varias de las situaciones-problemas
identificadas; en cada caso la solución siempre será un
elemento de la extensión del concepto que se quiere formar
(situaciones-problemas), los cuales debe seleccionar o elaborar cuidadosamente.
La
representación seleccionada para los objetos de la clase inicial en el caso de
la formación del concepto de función lineal, conduce a la utilización de la
palabra “fórmula” como medio; de manera que en cada caso los estudiantes deben
encontrar una fórmula que describa o modele analíticamente la situación
planteada.
Acción 2.
Durante la
segunda acción, encaminada al análisis de la vía de solución de las situaciones-problemas presentadas para ser modeladas
utilizando el concepto de función lineal se debe considerar que el
proceso de resolución de las situaciones-problemas está sujeto a las fases que plantea
Polya (1982): “la comprensión del problema, la
elaboración de un plan, la ejecución del plan y el análisis de las soluciones y
de la vía” (p. 45).
La
comprensión del problema está dirigida a “[…] identificar todo conjunto de proposiciones
verdaderas que a través de inferencias enlaza el planteamiento inicial
(elementos dados, datos) con la exigencia (incógnita, elementos buscados)” (Jiménez-Milián et al., 2010, p. 26).
La
elaboración de un plan de solución, que en este caso se enfoca esencialmente
hacia la búsqueda de un modelo matemático funcional, que permita resolver la
situación-problema elaborada con ese fin. En tal sentido, se pasa por una etapa
intermedia donde se debe modelar la relación esencial entre las magnitudes que
intervienen en esta, siempre teniendo en cuenta el dominio al que la situación
pertenece.
En
el plan de solución debe estar contemplada, en primer lugar, la acción de la
obtención de ese modelo.
Después
de la acción anterior, el proceso de modelación conduce a la elaboración de
tres modelos: dos para las magnitudes variables que intervienen en la situación
y uno para la relación esencial entre estas magnitudes. Estos tres modelos, de
conjunto, constituyen un modelo matemático de la situación.
Por
tanto, el plan de solución debe incluir, como segunda acción importante, las
vías para la elaboración de estos tres modelos.
Durante
la ejecución del plan el estudiante debe llegar a encontrar la fórmula mediante
inducción analizando casos particulares y otros aplicando la deducción. En este
momento los estudiantes deben modelar las magnitudes mediante dos variables, modelar
los dominios respectivos de cada variable y modelar la fórmula que establece o
describe las relaciones entre las magnitudes.
El
modelo de cada magnitud está compuesto por una variable y un conjunto numérico que constituye el
dominio de la variable, mientras que el modelo de la relación entre estas magnitudes
es una fórmula.
Durante
la etapa de análisis de la solución y de la vía se realiza la comprobación de la situación problema, la
cual debe realizarse de acuerdo con las relaciones que se establecen en el
enunciado. No solo se evalúa la solución sino también la vía de solución. Aquí
se hacen consideraciones retrospectivas, donde se retoman los procedimientos y
métodos utilizados durante el plan de solución. Se reflexiona sobre la
existencia de otras vías de solución o la posibilidad de utilizar esta vía de
solución en otras situaciones similares.
Acción
3.
La
identificación de las características comunes o propiedades de los objetos que
intervienen en las situaciones-problemas analizadas, se realizan bajo la
dirección del profesor; para ello es importante lograr un uso adecuado de la
heurística.
En
este momento, los estudiantes deben comparar y
analizar los objetos encontrados como soluciones de las situaciones problemas
propuestas, con el objetivo de seleccionar las características esenciales que sean
satisfechas por cada uno de estos objetos y que permitan identificarlos y
diferenciarlos de otros objetos (formación del contenido del concepto) y
mediante un proceso de abstracción, expresarlas en forma de propiedades
matemáticas.
Acción 4
Finalmente, el planteamiento de la
definición del concepto función lineal se realiza mediante un proceso de
síntesis que permite el agrupamiento, en una clase, de todos los objetos que
satisfacen el sistema de propiedades determinado en la acción anterior.
Posteriormente, a través del proceso de
generalización se consideran en una clase todos los objetos que fueron
comparados y que cumplen todas las propiedades que como resultado del proceso
de síntesis se agruparon en una clase y se da a conocer el nombre del concepto formado
cuya extensión está delimitada por todos esos objetos.
Seguidamente, se ilustra la aplicación
del procedimiento didáctico para la formación del concepto función lineal.
Como parte de la acción uno del
procedimiento se sugiere a los estudiantes el análisis de las siguientes situaciones
problemas:
Situación 1
Un móvil parte con movimiento rectilíneo
uniforme de un punto A hacia un punto B que se encuentra a 180m de distancia de
A. Se han medido para distintos instantes de tiempo las distancias del
móvil con respecto al punto A,
obteniéndose:
|
Tiempo en segundos |
Distancia en metros |
|
1 |
30 |
|
2 |
60 |
|
3 |
90 |
|
4 |
120 |
|
5 |
150 |
|
6 |
180 |
a) ¿Qué
valores puede tomar el tiempo recorrido del punto A hasta el punto B?
b) ¿Qué
valores puede tomar la distancia recorrida por el móvil?
c) Encuentre
una fórmula que te permita calcular la distancia recorrida por el móvil,
conociendo el tiempo transcurrido.
Situación 2
Se conoce que el costo en pesos del
envío de un bulto postal está determinado por la cantidad de kilogramos que
pesa de acuerdo a la ley siguiente:
|
Peso
del bulto postal en kilogramos |
Costo
en pesos |
|
Por el primer kilogramo o fracción de
este |
$2,05 |
|
Más de un kilogramo o fracción de este
|
$1,05 (por
cada uno) |
Nota: El peso máximo de cada bulto
postal es de 5kg.
a) Determine
los valores que puede tomar el peso del bulto postal en kilogramos.
b) Determine
los valores que puede tomar el costo en peso de cada bulto postal.
c) Encuentre
una fórmula para calcular el costo del bulto postal, conociendo su peso.
Situación 3
A una cierta masa de agua destilada
contenida en un recipiente se le suministra
una cantidad de calor constante por minuto (durante tres horas), la
temperatura aumenta linealmente. Durante los primeros 20 minutos el agua
alcanza una temperatura de 100
a) Encuentre
los valores que admite el tiempo que se le suministra la cantidad de calor
según la situación planteada.
b) Encuentre
los valores que admite la temperatura
según la situación planteada.
c) Determina
una fórmula que te permita calcular la temperatura que alcanza el agua,
conociendo el tiempo que se le
suministra la cantidad de calor. Analiza si en todos los casos puedes utilizar
la misma fórmula.
Como parte de la acción, se
trabaja en la búsqueda del plan de solución de cada situación problema y, en
función de ello, se elaboran los tres modelos referidos antes.
Solución de las situaciones
problemas
Respuesta de la situación número 1
|
|
|
|
|
t |
La
magnitud t toma los valores: t |
De
acuerdo con la relación establecida se puede utilizar la siguiente fórmula
para calcular la distancia recorrida por el móvil, conociendo el tiempo que
demora el mismo:
d=30t 0 |
|
d |
La magnitud
d toma los valores: d |
Respuesta de la situación número 2
|
|
|
|
|
p |
La
magnitud p toma los valores: p |
De
acuerdo con la ley establecida se pueden utilizar las siguientes fórmulas
para calcular el costo de un bulto postal conociendo su peso c=2,05 0<p c=3,10 c=4,15 2<p c=5,20 3<p c=6,25 4<p |
|
c |
La
magnitud c toma los valores: c |
Respuesta
de la situación número 3
|
|
|
|
|
c |
La magnitud c toma los siguientes valores: c |
De
acuerdo con la relación establecida se pueden utilizar las fórmulas
siguientes para calcular la temperatura que alcanza el agua, conociendo el
tiempo que se le suministra calor. t=20+4c 0 t=100 c>20 |
|
t |
La magnitud t toma los
siguientes valores: t |
Acción tres del procedimiento:
Para la determinación del sistema de propiedades de los objetos
encontrados en la solución de las situaciones
problemas propuestas, como parte de la acción tres del procedimiento los
estudiantes deben resolver cada situación y para ello el profesor puede
orientar o sugerir el completamiento de una tabla como la siguiente:
|
Sit. |
Mag.1 |
Mag. 2 |
Modelo
mag. 1 |
Modelo
mag. 2 |
Modelo
de la relación entre las magnitudes |
|
1 |
t |
d |
t |
d |
d=30t 0 |
|
2 |
p |
c |
p |
c |
c=2,05 0<p c=3,10 c=4,15 2<p c=5,20 3<p c=6,25 4<p |
|
3 |
c |
t |
c |
t |
t=20+4c 0 t=100 c>20 |
La
comparación de cada magnitud les permite determinar las siguientes
características:
1.
Los
modelos de las magnitudes 1 y 2 permiten
identificar como rasgo común que en todos los casos existe una variable cuyo
dominio es un conjunto de números.
2.
La
comparación de los modelos de la relación entre las dos magnitudes permite
identificar como rasgos comunes:
·
Para
cada valor de una de las variables existe un único valor de la otra variable.
·
La
variable dependiente tiene exponente 1 y coeficiente 1.
·
La
variable independiente tiene exponente 1.
·
Por
intervalos del dominio de la variable independiente, los valores de la variable
dependiente se obtienen de los valores de la variable independiente
multiplicándola por un número y adicionándole otro número.
La
primera de estas dos propiedades indica que en cada caso existe una función
cuyo dominio es el primer conjunto y cuya imagen es parte del segundo.
La
segunda propiedad indica una característica de cada una de las funciones
representadas anteriormente.
Finalmente, ya en la acción cuatro del
procedimiento, para llegar al planteamiento de la definición del concepto que
se quiere formar el profesor debe agrupar
en una clase todos los objetos que satisfacen el sistema de propiedades
determinado en el paso anterior y nombrar el concepto a cuya extensión
pertenecen esos objetos.
La
representación analítica de las fórmulas encontradas para relacionar las
magnitudes 1 y 2, tienen la forma de la función y = m x + n, donde m y n son
símbolos para parámetros, que en cada caso particular tomarán valores fijos, y
los signos x, y, representan, respectivamente, las variables independiente y
dependiente, definidas sobre un conjunto de números reales.
Según
los valores que pueden tomar m y n, se ha dividido estas funciones en las siguientes
clases:
|
Situaciones
problemas |
Valores
de los parámetros m y n |
Ecuaciones
funcionales |
|
1 |
m n |
Para
todos los elementos del dominio de la variable independiente se obtiene una
única ecuación de la forma y=mx+n |
|
2 |
m=0 n |
Para
los diferentes subintervalos del dominio de la
variable independiente se obtienen ecuaciones de la forma: y=n |
|
3 |
m=0
o m n |
Para
los diferentes subintervalos del dominio de la
variable independiente se obtienen ecuaciones de la forma: y=mx+n o y=n |
La
colección de todos las ternas (X, Y, f) donde X es el dominio, Y es el codominio y f las
ecuaciones funcionales que relacionan
las magnitudes 1 y 2, se les llaman funciones lineales.
Valoración
del resultado propuesto
El procedimiento propuesto se aplicó en
la práctica pedagógica, por uno de los autores del artículo. Para el análisis
del nivel alcanzado por los estudiantes en la formación del concepto función
lineal, se identificaron dos dimensiones: la cognitiva y la motivacional.
Para determinar los indicadores de la
dimensión cognitiva se tuvo en cuenta las operaciones a ejecutar por los
estudiantes durante la formación del concepto; de ahí que se consideraran los
siguientes: identificar el concepto y argumentar, ejemplificar el concepto y
argumentar y plantear problemas relacionados con el concepto.
De igual forma, los indicadores de la
dimensión motivacional fueron: interés por conocer el concepto, estado de ánimo
mientras se forma el concepto e interés por resolver ejercicios relacionados
con la formación del concepto.
Para la modelación matemática de los
indicadores se requirió de la ejecución de las acciones siguientes: representación
de cada indicador mediante una variable, determinación del dominio de la
variable y determinación de los criterios para asignar a la variable cada uno
de los elementos del dominio.
En tanto, una vez aplicado el
procedimiento propuesto para la formación del concepto función nivel se valoró el
nivel de aprendizaje de los estudiantes en la formación del concepto correspondiente.
Para ello se aplicó una guía de observación del desempeño y una prueba
pedagógica. Se obtuvieron los siguientes resultados:
Indicador: identificar el concepto y
argumentar.
Los datos recopilados evidenciaron que de
los 29 estudiantes participantes, 26 (89,7 %) identifican el concepto función
lineal a pedazos y argumentan, 2 (6,9%) identifican dicho concepto pero no son
capaces de argumentar y solo 1 (3,4%) no
identifica el concepto función lineal a pedazos.
Indicador: ejemplificar el concepto y
argumentar
En este indicador se constató que 24
(82,8%) estudiantes, ejemplifican el concepto función lineal a pedazos y
argumentan, 2 (6,9%) ejemplifican el concepto pero no argumentan y 3 (10,3%) no
ejemplifican el concepto.
Indicador: plantear problemas
relacionados con el concepto.
Los resultados obtenidos del control de
este indicador revelan que de los 29 estudiantes, 21 (72,4%), plantean
problemas relacionados con el concepto, 4 (13,8%), plantean problemas con
incoherencias u omisión de datos y 4 (13,8%), no plantean problemas
relacionados con el concepto.
Indicador: interés por conocer el
concepto.
El análisis realizado de los resultados
obtenidos de este indicador se pudo constatar, que 24 (82,8%) estudiantes, mostraron
interés en conocer el concepto, 4 (13,8%), en ocasiones mostraron interés en
conocer el concepto y 1 (3,4%), no mostró interés por conocer el concepto.
Indicador: estado de ánimo mientras se
forma el concepto.
Los resultados obtenidos del control de
este indicador revelan que sólo 24 (82,8%), mostraron buen estado de ánimo
mientras se estudia el concepto, 4 (13,8%), en ocasiones mostraban buen estado
de ánimo mientras se estudiaba el concepto y 1 (3,4%), no mostró interés
mientras se estudiaba el concepto.
Indicador: interés por resolver
ejercicios relacionados con la formación del concepto.
La valoración de este indicador permitió
determinar que 23 (79,2%), mostraron
interés en resolver otros ejercicios relacionados con el concepto, 4 (13,8%),
en ocasiones mostraron interés en resolver otros ejercicios relacionados con el
concepto y 2 (6,9 %), no mostraron interés en resolver ejercicios relacionados
con el concepto.
El análisis efectuado anteriormente a
cada uno de los indicadores de la variable nivel, alcanzado por los estudiantes
en la formación de conceptos y la valoración realizada a los datos mostrados,
permitió concluir que los indicadores, donde se alcanzan menos resultados
fueron los relacionados con la ejemplificación del concepto, su argumentación y
en el planteamiento de problemas relacionados con el mismo.
Conclusiones
A partir del estudio bibliográfico
realizado se pudo constatar que un concepto se ha formado cuando se conoce su
contenido y su extensión y que para su formación se le concede gran importancia
a la resolución de problemas y a la modelación matemática.
Para la formación del concepto función lineal a pedazos, se propone un
procedimiento didáctico sustentado en la solución de problemas y en el uso de
la modelación matemática; el cual orienta la actuación de los estudiantes y
estimula que sean protagonistas de la formación del concepto.
Luego
de la aplicación práctica del procedimiento didáctico se pudieron constatar las
transformaciones ocurridas en el nivel de formación del concepto función lineal
que lograron los estudiantes participantes de la investigación.
Referencias
bibliográficas
Álvarez Pérez, M.,
Almeida, B. y Villegas, E. V. (2014). El
proceso de enseñanza-aprendizaje de la asignatura matemática documentos
metodológicos. Pueblo y Educación.
Angulo Vergara, M. L., Arteaga Valdés, E. y Carmenates Barrios, O. A. (2020). La
formación de conceptos matemáticos en el proceso de enseñanza-aprendizaje de la
Matemática. Revista Conrado, 16(74), 298-305. https://conrado.ucf.edu.cu/index.php/conrado/article/view/1365/1355
Ballester Pedroso, S.,
García La Rosa, J. E., Almeida Carazo, B. A., Santana de Armas, I. F., Álvarez
Pérez, M. M., Rodríguez Ortiz, M., González Noguera, R. A., Villegas Jiménez,
E. V., Fonseca González, A. L., Puig Reyes, N. I., Ortega Valdés, E., Valdivia
Sardiñas, M. de los A. y Fernández Peá, C. L. (2018). Didáctica de la Matemática: Tomo 1. Editorial Universitaria “Félix
Varela”.
Ballester Pedroso, S., Santana de Armas, H., Hernández
Montes de Oca, S., Cruz, I., Arango González, C., García García,
M., Álvarez Gómez, A., Rodríguez, M., Batista, L. C., Villegas Jiménez, E. V.,
Almeida Carazo, B. A. y Torres Fernández, P. (1992). Metodología de la Enseñanza de la Matemática Tomo II. Pueblo y
Educación.
Bocco,
M. (2010). Funciones elementales
para construir modelos matemáticos. Ministerio de Educación, Instituto
Nacional de Educación Tecnológica. http://www.bnm.me.gov.ar/giga1/documentos/EL001843.pdf
Bueno
Hernández, R., Naveira Carreño, W. y González
Hernández, W. (2020). Los Conceptos Matemáticos y sus definiciones para la formación
de los ingenieros informáticos para la sociedad. Revista Universidad y Sociedad, 12(4), 147-155. http://scielo.sld.cu/pdf/rus/v12n6/2218-3620-rus-12-06-444.pdf
Castillo Rojas, Y. y Gamboa Graus, M. E. (2020). Tratamiento
didáctico interdisciplinario de la funciones matemáticas en la educación
preuniversitaria: tratamiento didáctico interdisciplinario de funciones
matemáticas. Revista Didasc@li, 11(3), 299-324. https://revistas.ult.edu.cu/index.php/didascalia/article/view/1007/1023
Domínguez Vaillant, A. E. (2018). Estrategia metodológica para la
formación de conceptos con apoyo de las Tecnologías de la Información y las
Comunicaciones en la asignatura Matemática 3 de la Universidad de las Ciencias
Informáticas [Tesis de maestría, Universidad de La Habana]. https://repositorio.uci.cu/jspui/bitstream/123456789/7884/1/9-07-Tesis-Arodys%20.pdf
Douady, R. & Parzysz, B.
(2000). La Geometría en el Salón de Clases. En V. M., Hernández
y M. Villalba (Trad.).
Perspectives on the Teaching of Geometry
for the 21th Century: Capítulo 5, (pp.
159-192). https://docplayer.es/19626866-5-la-geometria-en-el-salon-de-clase.html
Fuentes Acuña, N. S., Roa Puentes, P. I. y
Vásquez Larenas, V. A. (2019). Propuesta didáctica utilizando la modelación matemática en el
aprendizaje de las funciones para estudiantes de octavo básico. [Seminario,
Universidad de Concepción]. http://repositorio.udec.cl/handle/11594/413/3/Fuentes%20Acu%c3%b1a%20-%20Roa%20Puentes%20-20V%c3%a1squez%20Larenas.pdf
Huincahue
Arcos, J., Borromeo-Ferri, R. y Mena-Lorca, J.
(2018). El conocimiento de la modelación matemática desde la reflexión en la
formación inicial de profesores de matemática. Enseñanza de las Ciencias:
Revista de investigación y experiencias didácticas, 36(1), 99-115. https://raco.cat/index.php/Ensenanza/article/view/335276/426109
Jiménez-Milián, M. H., Rodríguez-Sosa, J. B. y Ron Galindo, J. (2010).
La calidad del aprendizaje y del trabajo metodológico en la formación
pedagógica. Varona, (50), 24-38. https://www.redalyc.org/pdf/3606/360635568005.pdf
Locia Espinoza, E., Mederos Anoceto, O. B., Sigarreta, J. M.
y Villarraga, B. A. (2018). Aproximación
teórico-metodológica a la formación de conceptos matemáticos. Premisa,
20(79), 24-38. http://funes.uniandes.edu.co/22893/1/Locia2018Aproximacion.pdf
López
de la Teja, L. J., Sarría Stuart, Á. y Fernández
Álvarez, D. (2017). La formación de conceptos en el proceso de enseñanza-aprendizaje
de los sistemas de gestión de bases de datos. Revista Conrado, 13(57), 139-145. https://conrado.ucf.edu.cu/index.php/conrado/article/view/451/486
Ministerio de Educación [Mined]
(2020). Adaptaciones curriculares para el
curso escolar 2020-2022: Educación Secundaria Básica. Autor.
Polya,
G. (1982). Cómo plantear y resolver
problemas. Editorial Trillas.
Porras Torres,
F. (2018). Evolución del concepto de función como respuesta a problemas de la
humanidad. Praxis, Educación y Pedagogía,
(1), 78-105. https://praxiseducacionpedagogia.univalle.edu.co/index.php/praxis_educacion/article/view/6466/13606
Riascos
González, Y. y Curbeira Hernández, D. (2018). Acciones y operaciones para la
formación de conceptos de la geometría plana. Revista Conrado, 14(65), 360-366. https://conrado.ucf.edu.cu/index.php/conrado/article/view/858/887
Sánchez Cardona, J.
y Rendón Mesa, P. A. (2019). La
evaluación en la modelación matemática. Una revisión crítica de literatura.
[Discurso principal] XV Conferencia interamericana de educación matemática.
Medellín, Colombia. https://www.researchgate.net/publication/333204623_La_evaluacion_en_la_modelacion_matematica_Una_revision_critica_de_literatura/link/5ce1e121a6fdccc9ddbec8e1/download
Talízina, N.
F. (1988). Psicología de la Enseñanza.
Progreso.
Vigotsky, L. S. (1981).
Pensamiento y Lenguaje. Edición
Revolucionaria.
Zilberstein Toruncha,
J. y Silvestre Orama, M. (2004). Didáctica desarrolladora desde el enfoque histórico
cultural. Ediciones CEIDE.
|
Conflicto de intereses: Los autores declaran no tener conflictos de intereses. |
|
Contribución de los autores: N.C.R.M.:
Elaboró el procedimiento didáctico para introducir el concepto de función y
analizó los resultados de su aplicación. A.P.G.:
Aportó criterios relacionados con la argumentación del procedimiento y los
ejemplos; revisó el texto para su presentación. O.N.Q.M.:
Aportó criterios relacionados con el enfoque metodológico del artículo y en
la argumentación del procedimiento. |
Pedagogia y Sociedad publica sus artículos bajo una Licencia Creative Commons Atribución-NoComercial-SinDerivar 4.0 Internacional
https://revistas.uniss.edu.cu/index.php/pedagogia-y-sociedad/ pedagogiasociedad@uniss.edu.cu